/bok-logik/book-logik : contents of Presentation - det booleska.tex at revision 34

: (revision 34)

To get this branch, use:

bzr branch
http://gegoxaren.bato24.eu/bzr/bok-logik/book-logik

\documentclass[aspectratio=1610, mathserif]{beamer}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\usepackage{color}

\definecolor{pblue}{rgb}{0.13,0.13,1}
\definecolor{pgreen}{rgb}{0,0.5,0}
\definecolor{pred}{rgb}{0.9,0,0}
\definecolor{pgrey}{rgb}{0.46,0.45,0.48}

\usepackage{listings}
\lstset{language=Java,
  showspaces=false,
  showtabs=false,
  breaklines=true,
  showstringspaces=false,
  extendedchars=true,              % lets you use non-ASCII characters; for 8-bits encodings only, does not work with UTF-8
  breakatwhitespace=true,
  commentstyle=\color{pgreen},
  keywordstyle=\color{pblue},
  stringstyle=\color{pred},
  basicstyle=\ttfamily,
  moredelim=[il][\textcolor{pgrey}]{$ $},
  moredelim=[is][\textcolor{pgrey}]{\%\%}{\%\%}
}

\lstset{literate={ö}{{\"o}}1
	{ä}{{\"a}}1
	{å}{{\aa}}1
	{Ö}{{\"O}}1
	{Ä}{{\"A}}1
	{Å}{{\AA}}1
}


\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{algorithm}
\usepackage{algpseudocode}
\usepackage{algorithmicx}
\usepackage{xcolor}

\usetheme{Berkeley}

\newcommand{\BLUE}[1]{\textcolor{blue!50!black}{#1}}
\newcommand{\RED}[1]{\textcolor{red!50!black}{#1}}
\newcommand{\GREEN}[1]{\textcolor{green!50!black}{#1}}
\newcommand{\YELLOW}[1]{\textcolor{yellow!75!black}{#1}}

\newcommand{\sant}{\GREEN{\texttt{sant}}}
\newcommand{\falskt}{\RED{\texttt{falskt}}}
\newcommand{\inte}{\RED{inte}}

\usepackage{dejavu}
\usefonttheme{professionalfonts}

\usepackage{ragged2e}
\justifying
\addtobeamertemplate{block begin}{}{\justifying}  %new code

\include{swealgo}

\author{Guastav Hartvigsson}
\institute{Strömstad Gymnasium}
\title{Varför logik?}
\subtitle{Det som får världen att gå runt}

\begin{document}

\begin{frame}
\maketitle
\end{frame}

\begin{frame}

  \tableofcontents

\end{frame}

\section{Introduktion}


\begin{frame}

  \tableofcontents[currentsection, subsectionstyle=show/show/hide]

\end{frame}

\subsection{Vad är Logik?}

\begin{frame}
  \frametitle{Introduktion}
  \framesubtitle{Varför Logik?}
  
  \begin{columns}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{Vad är logik?}
        \textit{\BLUE{Logik} är en av våra äldsta vetenskaper. Människan har
                sedan ''urminnes tider'' haft förmågan att omedvetet
                dra \GREEN{korrekta slutsatser} från givna påståenden, 
                \RED{abstrahera gemensam information} från flera idéer etc.}
    
                (Wikipedia, \textit{Logik}, 2016-03-05)
      \end{block}
    \end{column}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{Vad är Mattematisk logik?}
          \textit{\BLUE{Matematisk logik} har generellt två betydelser.
                  \GREEN{Det kan betyda logik studerad med matematiska
                  metoder} eller \RED{matematikens logik}. Ofta avser
                  man båda dessa tolkningar: man studerar
                  \BLUE{matematikens logik med matematiska metoder}.}
                  
                  (Wikipedia, \textit{Matematisk logik}, 2016-03-05)
      \end{block}
    \end{column}
  \end{columns}

\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Introduktion}
  \framesubtitle{Varför Logik?}
  \RED{Vi kommer inte att fördjupa oss i detta allt för
  mycket, dock så skall ni få en viss förståelse för
  varför det är bra att känna till logik. }
  
\end{frame}

\subsection{Påståenden}
\begin{frame}
  \frametitle{Introduktion}
  \framesubtitle{Påståenden}
  
  Den logik som vi kommer att gå genom handlar om olika \textbf{påståenden}
  och logiska satser.
  
  \pause\begin{block}{Exempel på ett påstående}
    Pelle hoppar hage
  \end{block}
  
  \pause Detta påståendet har ett \textbf{sanningsvärde}, det vill säga
  påståendet är \sant\ eller \falskt.\pause\ Om Pelle \inte\ hoppar hage så är
  påståendet \falskt, medans om Pelle hoppar hage så är påståendet \sant.

\end{frame}

\subsection{Påståenden som Variabler}

\begin{frame}
  \frametitle{Introduktion}
  \framesubtitle{Påståenden som Variabler}
  
  När det gäller logik så handlar allt om att kunna \BLUE{resonera}
  om olika uttryck, då kan det vara bra att kunna \GREEN{''korta ner''}
  uttrycken så att de inte är allt för långa.
  \pause \GREEN{Då används variabler.}

\end{frame}
\begin{frame}
  \frametitle{Introduktion}
  \framesubtitle{Påståenden som Variabler}
  
  Låt säga att vi har uttrycket
  \begin{block}{Uttryck}
    Pelle och Nora åker pulka.
  \end{block}
  
  \pause
  Detta uttryck kan delas uttryck kan delas upp i två delar:
  
  
  \begin{columns}
     \begin{column}{.47\textwidth}
        \pause\begin{block}{Påstående 1}
          \BLUE{Pelle åker pulka}
        \end{block}
     \end{column}
     \begin{column}{.47\textwidth}
        \pause\begin{block}{Påstående 2}
          \RED{Nora åker pulka}.
        \end{block}
     \end{column}
  \end{columns} 
  
  \pause Låt oss tilldela \BLUE{påstående 1} bokstaven \BLUE{\(p\)}
  och \RED{påstående 2} bokstaven \RED{\(q\)}.
  
  \bigskip
  \pause Då går det att skriva:
  \[\BLUE{p} \wedge \RED{q}\]
  
  (Vi återkommer till detta)
\end{frame}

\section{Det Booleska}
\subsection{Vad är Boolesk Algebra?}

\begin{frame}
  \tableofcontents[currentsection, subsectionstyle=show/show/hide]
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Det Boolska}
  \framesubtitle{Vad är Boolesk Algebra?}
  
  \begin{block}{Vad är Boolsk Algebra?}
    \textit{\BLUE{Boolesk algebra} är ursprungligen en 
    överföring av \GREEN{satslogiken} till \RED{kalkyl},
    som introducerades av \BLUE{George Boole} år 1854. }
    
    (Wikipedia, \textit{Boolesk Algebra}, 2016-03-05)
  \end{block}
  
  \pause
  \begin{block}{Vad är Satslogik?}
    \textit{Satslogiken är ett \RED{formellt logiskt system med
    väldefinierad syntax}, avsett att \BLUE{symboliskt
    hantera språkliga satser,} vilka uttrycker \GREEN{påståenden},
    och från dessa med giltiga slutledningar, \GREEN{dra slutsatser.}}
    
    (Wikipedia, \textit{Satslogik}, 2016-03-05)
  \end{block}
  
\end{frame}

\subsection{Och operatorn}

\begin{frame}
  \frametitle{Det Booleska}
  \framesubtitle{Och operatorn}
  
  Om vi tar exemplet \BLUE{''Pelle \GREEN{och} Nora åker pulka''} så
  konstaterade vi att detta uttrycket bestod av \RED{två delar}.
  
  \pause
  \begin{columns}
     \begin{column}{.47\textwidth}
        \begin{block}{Påstående 1}
          Pelle åker pulka
        \end{block}
     \end{column}
     \begin{column}{.47\textwidth}
        \begin{block}{Påstående 2}
          Nora åker pulka.
        \end{block}
     \end{column}
  \end{columns}
   
  \pause
  Samt att vi tilldelade dessa namnen \BLUE{\(p\)} och \BLUE{\(q\)}.
  
  \pause
  Då fick vi
  \BLUE{
  \[p \GREEN{\wedge} q\]
  }
  
  \pause
  Detta uttryck är \sant\ omm (om och endast om) \GREEN{båda} påståendena \BLUE{håller},\pause\
  det vill säga att båda påståendena har ett \sant\ sanningsvärdet.\pause\ Uttrycket är \falskt\
  i alla övriga fall.
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Det Booleska}
  \framesubtitle{Och operatorn - Sanningstabell }
  
  När vi skall \BLUE{resonera} om ett logiskt uttryck så
  är det bra att ställa upp något som kallas en
  \BLUE{sanningstabell}.
  
  \pause
  \begin{block}{sanningstabell för \(\wedge\)}
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|c|c|c|}
         \hline
         \(p\) & \(q\) & \( p \wedge q \) \\
         \hline
         \(F\) & \(F\) & \only<3->{\(F\)} \\
         \hline
         \(S\) & \(F\) & \only<4->{\(F\)} \\
         \hline
         \(F\) & \(S\) & \only<5->{\(F\)} \\
         \hline
         \(S\) & \(S\) & \only<6->{\(S\)} \\
         \hline
      \end{tabular}
      
      Där \(F\) betyder \falskt\ och \(S\) betyder \sant
    \end{center}
 \end{block}
 
 \pause
 \only<7->{
 \GREEN{Och operatorn} kallas också för \GREEN{konjunktion}.
 }
\end{frame}

\subsection{Eller operatorn}
\begin{frame}
  \frametitle{Boolesk Algebra}
  \framesubtitle{Eller operatorn}
  
  Låt säga att vi har uttrycket
  \begin{block}{}
    Nora eller Pelle myser framför tv:n
  \end{block}
  
  \pause
  Detta uttrycket kan delas upp i två påståenden:
  \begin{columns}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{Påstående 1}
        Nora myser framför tv:n
      \end{block}
    \end{column}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{Påstående 2}
        Pelle myser framför tv:n
      \end{block}
    \end{column}
  \end{columns}
  
  \pause \RED{I vardagsspråk} skulle detta innebära att \BLUE{antingen}
  Pelle eller Nora myser framför tv:n, dock är det \inte\ så
  inom \BLUE{logiken}.
  
  \pause
  \bigskip
  \BLUE{Inom logiken} är uttrycket \sant\ om Nora myser
  framför tv:n men inte Pelle,\pause\ och \GREEN{tvärtom},\pause\
  samt när \GREEN{både} Pelle och Nora myser framför tv:n.
  \pause Uttrycket är \falskt\ omm \BLUE{varken} Pelle eller
  Nora myser framför tv:n.
  
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Boolesk Algebra}
  \framesubtitle{Eller operatorn}
  Om vi har ett uttryck \BLUE{''\(p\) \GREEN{eller} \(q\)''} där
  \(p\) och \(q\) är två påståenden så, skrivs detta med i
  boolesk algebra som
  
  \[p \vee q\]
  
  \pause
  
  \begin{block}{sanningstabell för \(\vee\)}
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|c|c|c|}
         \hline
         \(p\) & \(q\) & \( p \vee q \) \\
         \hline
         \(F\) & \(F\) & \only<3->{\(F\)} \\
         \hline
         \(S\) & \(F\) & \only<4->{\(S\)} \\
         \hline
         \(F\) & \(S\) & \only<5->{\(S\)} \\
         \hline
         \(S\) & \(S\) & \only<6->{\(S\)} \\
         \hline
      \end{tabular}
      
      Där \(F\) betyder \falskt\ och \(S\) betyder \sant
    \end{center}
 \end{block}
 
 \only<7->{
 \GREEN{Eller operatorn} kallas också för \GREEN{disjunktion} eller
 \GREEN{inklusiv disjunktion}.
 }
\end{frame}

\subsection{Negerings operatorn}



\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Boolesk Algebra}
  \framesubtitle{Negerings operatorn}
  
  Ibland kan det vara nödvändigt att uttrycka \BLUE{motsatsen} till något\linebreak
  påstående, \pause\ detta görs med \BLUE{negering}. 
  \bigskip
  
  \pause
  Låt ta uttrycket \BLUE{''Pelle har \inte\ en USB-hålkortsläsare''}.
  \pause\ Detta uttryck är \RED{negeringen} av påståendet
  \BLUE{''Pelle har en USB-hålkortsläsare''}.
  
  \pause
  Då skulle det gå att uttrycka detta med det booleska uttrycket
  \[
    \neg p
  \]
  där \(p\) är påståendet \BLUE{''Pelle har en USB-hålkortsläsare''}.
  
  \pause
  \bigskip
  Alltså, uttrycket är \sant\ omm Pelle \inte\ har en USB-hålkortsläsare,
  och \falskt\ omm Pelle har en USB-hålkortsläsare.
  
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Boolesk Algebra}
  \framesubtitle{Negerings operatorn}
  
  \RED{Inte} \(p\), eller \(\neg p\), har sanningstabellen.
  \begin{block}{Sanningstabellen för \(\neg p\)}
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|c|c|}
        \hline
        \(p\) & \(\neg p\)  \\
        \hline
        \(F\) & \(S\) \\
        \hline
        \(S\) & \(F\) \\
        \hline
      \end{tabular}
    \end{center}
  \end{block}
  
\end{frame}

\subsection{Halvvägs!}
\begin{frame}
  \frametitle{Boolesk Algebra}
  \framesubtitle{Halvvägs!}
  Nu har vi tagit de grundläggande booleska operatorerna,
  och det blir bara mer komplicerat efter detta.
  
  \tableofcontents[currentsection, currentsubsection, subsectionstyle=show/shaded/hide]
  
  
\end{frame}

\subsection{Exklusiv eller operatorn}
\begin{frame}
  \frametitle{Det booleska}
  \framesubtitle{Exklusiv eller operatorn}
  
  När det gäller att uttrycka att \BLUE{antingen} ett påstående \BLUE{eller}
  ett annat påstående är \sant\ så används \GREEN{exklusiv eller} operatorn.
  
  \pause
  \bigskip
  Låt ta exemplet 
  \begin{block}{}
    \BLUE{''\GREEN{Antingen} så hoppar Nora \GREEN{eller} Pelle hage''}
  \end{block}
  
  \pause
  Detta uttryck består av två påståenden som utesluter varandra
  \begin{columns}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{Påstående 1}
        Nora hoppar hage
      \end{block}
    \end{column}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{Påstående 2}
        Pelle hoppar hage
      \end{block}
    \end{column}
  \end{columns}
  
  Påståendet är \sant\ omm \BLUE{antingen} Nora \BLUE{eller} Pelle hoppar
  hage, \falskt\ i alla övriga fall.
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Det booleska}
  \framesubtitle{Exklusiv eller operatorn}
  
  Låt såga att vi har uttrycket \BLUE{''\GREEN{antingen} \(p\) \GREEN{eller} \(q\)''}
  så kan det skrivas som
  \[
  \BLUE{p} \GREEN{\oplus} \BLUE{q}
  \]
  
  \pause
  och har sanningstabellen
  
    \begin{block}{sanningstabell för \(\oplus\)}
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|c|c|c|}
         \hline
         \(p\) & \(q\) & \( p \oplus q \) \\
         \hline
         \(F\) & \(F\) & \(F\) \\
         \hline
         \(S\) & \(F\) & \(S\) \\
         \hline
         \(F\) & \(S\) & \(S\) \\
         \hline
         \(S\) & \(S\) & \(F\) \\
         \hline
      \end{tabular}
      
      Där \(F\) betyder \falskt\ och \(S\) betyder \sant
    \end{center}
 \end{block}
 
 \pause
 \GREEN{Exklusiv eller} kallas också för \GREEN{exklusiv disjunktion}.
  
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Det booleska}
  \framesubtitle{Exklusiv eller operatorn}
  
  \begin{block}{\(p \oplus q \equiv (p \vee q) \wedge \neg (p \wedge q) \)}
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|c c||c|c||c||c|}
        \hline
        \(p\) & \(q\) & \((p \vee q)\) & \((p \wedge q)\) & \(\neg (p \wedge q)\) & \((p \vee q) \wedge \neg (p \wedge q) \) \\
        \hline
        \(F\) & \(F\) &       \(F\)    &       \(F\)      &         \(S\)         & \(F\) \\
        \hline
        \(S\) & \(F\) &       \(S\)    &       \(F\)      &         \(S\)         & \(S\) \\
        \hline
        \(F\) & \(S\) &       \(S\)    &       \(F\)      &         \(S\)         & \(S\) \\
        \hline
        \(S\) & \(S\) &       \(S\)    &       \(S\)      &         \(F\)         & \(F\) \\
        \hline
      \end{tabular}
    \end{center}
  \end{block}
  
\end{frame}

\subsection{Implikation}

\begin{frame}
  \frametitle{Det booleska}
  \framesubtitle{Implikation - om \(p\) så \(q\)}
  
  Låt säga att vi har uttrycket 
  \begin{block}{}
    \BLUE{\GREEN{Om} Nora vinner mer än två tusen Euro \GREEN{så}
          skall Nora bjuda Pelle på middag}
  \end{block}
  
  \pause
  Detta uttryck består av två delar
  \begin{columns}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{hypotes}
        Nora vinner mer än två tusen Euro
      \end{block}
    \end{column}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{slutsats}
        Nora bjuder Pelle på middag\\
        \ \
      \end{block}
    \end{column}
  \end{columns}
  
  \pause
  Uttrycket är \falskt\ omm \BLUE{hypotesen} är \GREEN{sann} och
  \BLUE{slutsatsen} är \falskt.\pause\ Uttrycket är \sant\ i alla övriga
  fall.
  
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Det booleska}
  \framesubtitle{Implikation - om \(p\) så \(q\)}
  
  \begin{block}{Sanningstabell över \(\rightarrow\)}
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|c c||c|}
        \hline
         $p$ & $q$ & $p \rightarrow q$ \\
        \hline
         $F$ & $F$ & $S$ \\
        \hline
         $S$ & $F$ & $F$ \\
        \hline
         $F$ & $S$ & $S$ \\
        \hline
         $S$ & $S$ & $S$ \\
        \hline
      \end{tabular}
    \end{center}
  \end{block}
  
  \pause
  Denna operator kan ses som lögndetektorn.
  
  \bigskip
  \pause
  Notera att
  \begin{block}{}
    \( p \rightarrow q \equiv \neg p \vee q \)
  \end{block}
  
\end{frame}

\subsection{Omm operatorn}

\begin{frame}
  \frametitle{Det Booleska}
  \framesubtitle{Omm operatorn}
  
  Låt säga att vi har uttryck 
  \begin{block}{}
    \BLUE{Pelle hoppar hage \GREEN{om och endast om} Nora tittar på} 
  \end{block}
  
  \pause
  Detta uttryck har två delar
  
  \begin{columns}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{}
        \BLUE{\textbf{Pelle hoppar hage}} \only<3->{när Nora tittar på}
      \end{block}
    \end{column}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{}
        \BLUE{\textbf{Nora tittar på}} \only<3->{när Pelle hoppar hage}
      \end{block}
    \end{column}
  \end{columns}
  
  \only<4->{
  Uttrycket är \sant\ om båda påståendena är \texttt{\RED{falska}}
  eller om båda påståendena är \texttt{\GREEN{sanna}}, och \falskt\ i alla övriga fall.
  }
  
  \only<5->{
  För att förstå detta lite bättre kan vi ta och titta på vad \GREEN{omm}
  kallas på engelska:} \only<6->{\GREEN{logical biconditional}.}
  
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Det Booleska}
  \framesubtitle{Omm operatorn}
  
    \begin{block}{}
      \begin{center}
        \begin{tabular}{|c c||c|}
          \hline
           $p$ & $q$ & $ p \leftrightarrow q $ \\
          \hline
           $F$ & $F$ & $S$ \\
          \hline
           $S$ & $F$ & $F$ \\
          \hline
           $F$ & $S$ & $F$ \\
          \hline
           $S$ & $S$ & $S$ \\
          \hline
        \end{tabular}
      \end{center}
    \end{block}
    
    \pause
    Denna operatorn kallas förvirrande nog för \BLUE{materiell-} eller \BLUE{logisk ekvivalens}.
    
    \pause
    Det vill säga \(p \leftrightarrow q\) och \(p \equiv q\) har samma betydelse, \pause
    dock vill jag skilja på dessa: \GREEN{använd \(\equiv\) när ni säger att uttryck är ekvivalenta} och
    \BLUE{\(\leftrightarrow\) när ni säger att påståenden är ekvivalenta}. 
    
    \pause
    \begin{block}{}
      \(p \leftrightarrow q \equiv (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p) \)
    \end{block}
\end{frame}

\subsection{Tautologier och Kontradiktioner}

\begin{frame}
  \frametitle{Det Booleska}
  \framesubtitle{Tautologier och Kontradiktioner}
  Ibland finns det \BLUE{uttryck} som har ett \sant\ sanningsvärde oberoende
  på vad \BLUE{påståendena} har för sanningsvärde,\pause\ dessa kallas för \GREEN{tautologier}.
  
  \bigskip
  \pause
  Motsatsen till \GREEN{tautologier} är \RED{kontradiktioner},\pause\ det vill
  säga \BLUE{uttryck} som har ett \falskt\ sanningsvärde oberoende på vad
  \BLUE{påståendena} har för sanningsvärden.
  
  \bigskip
  \pause
  \begin{columns}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{exempel på tautologier}
        \[A \vee \neg A\]
        \[ \neg (p \wedge q) \leftrightarrow (\neg p \vee \neg q) \]
      \end{block}
    \end{column}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{exempel på kontradiktion}
        \[A \wedge \neg A\]
      \end{block}
    \end{column}
  \end{columns}
  
\end{frame}

\section{Slut}
\begin{frame}
  \Huge \center{Slut!}
  \normalsize 
  \begin{block}{Tack för er uppmärksamhet}
    Vi kommer gå genom lite \GREEN{på tavlan} nu om
    \BLUE{kvantifikatorer} och hur det går att konstruera
    \RED{sanningstabeller}.
  \end{block}
\end{frame}

\end{document}

28 by Gustav Hatvigsson * lade till en presentation om det booleksa	1	\documentclass[aspectratio=1610, mathserif]{beamer}
	2
	3	\usepackage[utf8]{inputenc}
	4	\usepackage[T1]{fontenc}
	5
	6	\usepackage{color}
	7
	8	\definecolor{pblue}{rgb}{0.13,0.13,1}
	9	\definecolor{pgreen}{rgb}{0,0.5,0}
	10	\definecolor{pred}{rgb}{0.9,0,0}
	11	\definecolor{pgrey}{rgb}{0.46,0.45,0.48}
	12
	13	\usepackage{listings}
	14	\lstset{language=Java,
	15	showspaces=false,
	16	showtabs=false,
	17	breaklines=true,
	18	showstringspaces=false,
	19	extendedchars=true, % lets you use non-ASCII characters; for 8-bits encodings only, does not work with UTF-8
	20	breakatwhitespace=true,
	21	commentstyle=\color{pgreen},
	22	keywordstyle=\color{pblue},
	23	stringstyle=\color{pred},
	24	basicstyle=\ttfamily,
	25	moredelim=[il][\textcolor{pgrey}]{$ $},
	26	moredelim=[is][\textcolor{pgrey}]{\%\%}{\%\%}
	27	}
	28
	29	\lstset{literate={ö}{{\"o}}1
	30	{ä}{{\"a}}1
	31	{å}{{\aa}}1
	32	{Ö}{{\"O}}1
	33	{Ä}{{\"A}}1
	34	{Å}{{\AA}}1
	35	}
	36
	37
	38	\usepackage{amsmath}
	39	\usepackage{amsfonts}
	40	\usepackage{amssymb}
	41	\usepackage{algorithm}
	42	\usepackage{algpseudocode}
	43	\usepackage{algorithmicx}
	44	\usepackage{xcolor}
	45
	46	\usetheme{Berkeley}
	47
	48	\newcommand{\BLUE}[1]{\textcolor{blue!50!black}{#1}}
	49	\newcommand{\RED}[1]{\textcolor{red!50!black}{#1}}
	50	\newcommand{\GREEN}[1]{\textcolor{green!50!black}{#1}}
	51	\newcommand{\YELLOW}[1]{\textcolor{yellow!75!black}{#1}}
	52
	53	\newcommand{\sant}{\GREEN{\texttt{sant}}}
	54	\newcommand{\falskt}{\RED{\texttt{falskt}}}
	55	\newcommand{\inte}{\RED{inte}}
	56
	57	\usepackage{dejavu}
	58	\usefonttheme{professionalfonts}
	59
	60	\usepackage{ragged2e}
	61	\justifying
	62	\addtobeamertemplate{block begin}{}{\justifying} %new code
	63
	64	\include{swealgo}
65
66	\author{Guastav Hartvigsson}
67	\institute{Strömstad Gymnasium}
68	\title{Varför logik?}
69	\subtitle{Det som får världen att gå runt}
70
71	\begin{document}
72
73	\begin{frame}
74	\maketitle
75	\end{frame}
76
77	\begin{frame}
78
79	\tableofcontents
80
81	\end{frame}
82
83	\section{Introduktion}
84
85
86	\begin{frame}
87
88	\tableofcontents[currentsection, subsectionstyle=show/show/hide]
89
90	\end{frame}
91
92	\subsection{Vad är Logik?}
93
94	\begin{frame}
95	\frametitle{Introduktion}
96	\framesubtitle{Varför Logik?}
97
98	\begin{columns}
99	\begin{column}{.47\textwidth}
100	\begin{block}{Vad är logik?}
101	\textit{\BLUE{Logik} är en av våra äldsta vetenskaper. Människan har
102	sedan ''urminnes tider'' haft förmågan att omedvetet
103	dra \GREEN{korrekta slutsatser} från givna påståenden,
104	\RED{abstrahera gemensam information} från flera idéer etc.}
105
106	(Wikipedia, \textit{Logik}, 2016-03-05)
107	\end{block}
108	\end{column}
109	\begin{column}{.47\textwidth}
110	\begin{block}{Vad är Mattematisk logik?}
111	\textit{\BLUE{Matematisk logik} har generellt två betydelser.
112	\GREEN{Det kan betyda logik studerad med matematiska
113	metoder} eller \RED{matematikens logik}. Ofta avser
114	man båda dessa tolkningar: man studerar
115	\BLUE{matematikens logik med matematiska metoder}.}
116
117	(Wikipedia, \textit{Matematisk logik}, 2016-03-05)
118	\end{block}
119	\end{column}
120	\end{columns}
121
122	\end{frame}
123
124	\begin{frame}
125	\frametitle{Introduktion}
126	\framesubtitle{Varför Logik?}
127	\RED{Vi kommer inte att fördjupa oss i detta allt för
128	mycket, dock så skall ni få en viss förståelse för
129	varför det är bra att känna till logik. }
130
131	\end{frame}
132
133	\subsection{Påståenden}
134	\begin{frame}
135	\frametitle{Introduktion}
136	\framesubtitle{Påståenden}
137
138	Den logik som vi kommer att gå genom handlar om olika \textbf{påståenden}
139	och logiska satser.
140
141	\pause\begin{block}{Exempel på ett påstående}
142	Pelle hoppar hage
143	\end{block}
144
145	\pause Detta påståendet har ett \textbf{sanningsvärde}, det vill säga
146	påståendet är \sant\ eller \falskt.\pause\ Om Pelle \inte\ hoppar hage så är
147	påståendet \falskt, medans om Pelle hoppar hage så är påståendet \sant.
148
149	\end{frame}
150
151	\subsection{Påståenden som Variabler}
152
153	\begin{frame}
154	\frametitle{Introduktion}
155	\framesubtitle{Påståenden som Variabler}
156
157	När det gäller logik så handlar allt om att kunna \BLUE{resonera}
158	om olika uttryck, då kan det vara bra att kunna \GREEN{''korta ner''}
159	uttrycken så att de inte är allt för långa.
160	\pause \GREEN{Då används variabler.}
161
162	\end{frame}
163	\begin{frame}
164	\frametitle{Introduktion}
165	\framesubtitle{Påståenden som Variabler}
166
167	Låt säga att vi har uttrycket
168	\begin{block}{Uttryck}
169	Pelle och Nora åker pulka.
170	\end{block}
171
172	\pause
173	Detta uttryck kan delas uttryck kan delas upp i två delar:
174
175
176	\begin{columns}
177	\begin{column}{.47\textwidth}
178	\pause\begin{block}{Påstående 1}
179	\BLUE{Pelle åker pulka}
180	\end{block}
181	\end{column}
182	\begin{column}{.47\textwidth}
183	\pause\begin{block}{Påstående 2}
184	\RED{Nora åker pulka}.
185	\end{block}
186	\end{column}
187	\end{columns}
188
189	\pause Låt oss tilldela \BLUE{påstående 1} bokstaven \BLUE{\(p\)}
190	och \RED{påstående 2} bokstaven \RED{\(q\)}.
191
192	\bigskip
193	\pause Då går det att skriva:
194	\[\BLUE{p} \wedge \RED{q}\]
195
196	(Vi återkommer till detta)
197	\end{frame}
198
199	\section{Det Booleska}
200	\subsection{Vad är Boolesk Algebra?}
201
202	\begin{frame}
203	\tableofcontents[currentsection, subsectionstyle=show/show/hide]
204	\end{frame}
205
206	\begin{frame}
207	\frametitle{Det Boolska}
208	\framesubtitle{Vad är Boolesk Algebra?}
209
210	\begin{block}{Vad är Boolsk Algebra?}
211	\textit{\BLUE{Boolesk algebra} är ursprungligen en
212	överföring av \GREEN{satslogiken} till \RED{kalkyl},
213	som introducerades av \BLUE{George Boole} år 1854. }
214
215	(Wikipedia, \textit{Boolesk Algebra}, 2016-03-05)
216	\end{block}
217
218	\pause
219	\begin{block}{Vad är Satslogik?}
220	\textit{Satslogiken är ett \RED{formellt logiskt system med
221	väldefinierad syntax}, avsett att \BLUE{symboliskt
222	hantera språkliga satser,} vilka uttrycker \GREEN{påståenden},
223	och från dessa med giltiga slutledningar, \GREEN{dra slutsatser.}}
224
225	(Wikipedia, \textit{Satslogik}, 2016-03-05)
226	\end{block}
227
228	\end{frame}
229
230	\subsection{Och operatorn}
231
232	\begin{frame}
233	\frametitle{Det Booleska}
234	\framesubtitle{Och operatorn}
235
236	Om vi tar exemplet \BLUE{''Pelle \GREEN{och} Nora åker pulka''} så
237	konstaterade vi att detta uttrycket bestod av \RED{två delar}.
238
239	\pause
240	\begin{columns}
241	\begin{column}{.47\textwidth}
242	\begin{block}{Påstående 1}
243	Pelle åker pulka
244	\end{block}
245	\end{column}
246	\begin{column}{.47\textwidth}
247	\begin{block}{Påstående 2}
248	Nora åker pulka.
249	\end{block}
250	\end{column}
251	\end{columns}
252
253	\pause
254	Samt att vi tilldelade dessa namnen \BLUE{\(p\)} och \BLUE{\(q\)}.
255
256	\pause
257	Då fick vi
258	\BLUE{
259	\[p \GREEN{\wedge} q\]
260	}
261
262	\pause
263	Detta uttryck är \sant\ omm (om och endast om) \GREEN{båda} påståendena \BLUE{håller},\pause\
264	det vill säga att båda påståendena har ett \sant\ sanningsvärdet.\pause\ Uttrycket är \falskt\
265	i alla övriga fall.
266	\end{frame}
267
268	\begin{frame}
269	\frametitle{Det Booleska}
270	\framesubtitle{Och operatorn - Sanningstabell }
271
272	När vi skall \BLUE{resonera} om ett logiskt uttryck så
273	är det bra att ställa upp något som kallas en
274	\BLUE{sanningstabell}.
275
276	\pause
277	\begin{block}{sanningstabell för \(\wedge\)}
278	\begin{center}
279	\begin{tabular}{\|c\|c\|c\|}
280	\hline
281	\(p\) & \(q\) & \( p \wedge q \) \\
282	\hline
283	\(F\) & \(F\) & \only<3->{\(F\)} \\
284	\hline
285	\(S\) & \(F\) & \only<4->{\(F\)} \\
286	\hline
287	\(F\) & \(S\) & \only<5->{\(F\)} \\
288	\hline
289	\(S\) & \(S\) & \only<6->{\(S\)} \\
290	\hline
291	\end{tabular}
292
293	Där \(F\) betyder \falskt\ och \(S\) betyder \sant
294	\end{center}
295	\end{block}
296
297	\pause
298	\only<7->{
299	\GREEN{Och operatorn} kallas också för \GREEN{konjunktion}.
300	}
301	\end{frame}
302
303	\subsection{Eller operatorn}
304	\begin{frame}
305	\frametitle{Boolesk Algebra}
306	\framesubtitle{Eller operatorn}
307
308	Låt säga att vi har uttrycket
309	\begin{block}{}
310	Nora eller Pelle myser framför tv:n
311	\end{block}
312
313	\pause
314	Detta uttrycket kan delas upp i två påståenden:
315	\begin{columns}
316	\begin{column}{.47\textwidth}
317	\begin{block}{Påstående 1}
318	Nora myser framför tv:n
319	\end{block}
320	\end{column}
321	\begin{column}{.47\textwidth}
322	\begin{block}{Påstående 2}
323	Pelle myser framför tv:n
324	\end{block}
325	\end{column}
326	\end{columns}
327
328	\pause \RED{I vardagsspråk} skulle detta innebära att \BLUE{antingen}
329	Pelle eller Nora myser framför tv:n, dock är det \inte\ så
330	inom \BLUE{logiken}.
331
332	\pause
333	\bigskip
334	\BLUE{Inom logiken} är uttrycket \sant\ om Nora myser
335	framför tv:n men inte Pelle,\pause\ och \GREEN{tvärtom},\pause\
336	samt när \GREEN{både} Pelle och Nora myser framför tv:n.
337	\pause Uttrycket är \falskt\ omm \BLUE{varken} Pelle eller
338	Nora myser framför tv:n.
339
340	\end{frame}
341
342	\begin{frame}
343	\frametitle{Boolesk Algebra}
344	\framesubtitle{Eller operatorn}
345	Om vi har ett uttryck \BLUE{''\(p\) \GREEN{eller} \(q\)''} där
30 by Gustav Hatvigsson * Gramatik	346	\(p\) och \(q\) är två påståenden så, skrivs detta med i
28 by Gustav Hatvigsson * lade till en presentation om det booleksa	347	boolesk algebra som
	348
	349	\[p \vee q\]
	350
	351	\pause
	352
	353	\begin{block}{sanningstabell för \(\vee\)}
	354	\begin{center}
	355	\begin{tabular}{\|c\|c\|c\|}
	356	\hline
	357	\(p\) & \(q\) & \( p \vee q \) \\
	358	\hline
	359	\(F\) & \(F\) & \only<3->{\(F\)} \\
	360	\hline
	361	\(S\) & \(F\) & \only<4->{\(S\)} \\
	362	\hline
	363	\(F\) & \(S\) & \only<5->{\(S\)} \\
	364	\hline
	365	\(S\) & \(S\) & \only<6->{\(S\)} \\
	366	\hline
	367	\end{tabular}
	368
	369	Där \(F\) betyder \falskt\ och \(S\) betyder \sant
	370	\end{center}
	371	\end{block}
	372
	373	\only<7->{
	374	\GREEN{Eller operatorn} kallas också för \GREEN{disjunktion} eller
	375	\GREEN{inklusiv disjunktion}.
	376	}
	377	\end{frame}
	378
	379	\subsection{Negerings operatorn}
	380
	381
	382
	383	\begin{frame}[fragile]
	384	\frametitle{Boolesk Algebra}
	385	\framesubtitle{Negerings operatorn}
	386
	387	Ibland kan det vara nödvändigt att uttrycka \BLUE{motsatsen} till något\linebreak
	388	påstående, \pause\ detta görs med \BLUE{negering}.
	389	\bigskip
	390
	391	\pause
	392	Låt ta uttrycket \BLUE{''Pelle har \inte\ en USB-hålkortsläsare''}.
	393	\pause\ Detta uttryck är \RED{negeringen} av påståendet
	394	\BLUE{''Pelle har en USB-hålkortsläsare''}.
	395
	396	\pause
	397	Då skulle det gå att uttrycka detta med det booleska uttrycket
	398	\[
	399	\neg p
	400	\]
	401	där \(p\) är påståendet \BLUE{''Pelle har en USB-hålkortsläsare''}.
	402
	403	\pause
	404	\bigskip
	405	Alltså, uttrycket är \sant\ omm Pelle \inte\ har en USB-hålkortsläsare,
	406	och \falskt\ omm Pelle har en USB-hålkortsläsare.
	407
	408	\end{frame}
	409
	410	\begin{frame}
411	\frametitle{Boolesk Algebra}
412	\framesubtitle{Negerings operatorn}
413
414	\RED{Inte} \(p\), eller \(\neg p\), har sanningstabellen.
415	\begin{block}{Sanningstabellen för \(\neg p\)}
416	\begin{center}
417	\begin{tabular}{\|c\|c\|}
418	\hline
419	\(p\) & \(\neg p\) \\
420	\hline
421	\(F\) & \(S\) \\
422	\hline
423	\(S\) & \(F\) \\
424	\hline
425	\end{tabular}
426	\end{center}
427	\end{block}
428
429	\end{frame}
430
431	\subsection{Halvvägs!}
432	\begin{frame}
433	\frametitle{Boolesk Algebra}
434	\framesubtitle{Halvvägs!}
435	Nu har vi tagit de grundläggande booleska operatorerna,
436	och det blir bara mer komplicerat efter detta.
437
438	\tableofcontents[currentsection, currentsubsection, subsectionstyle=show/shaded/hide]
439
440
441	\end{frame}
442
443	\subsection{Exklusiv eller operatorn}
444	\begin{frame}
445	\frametitle{Det booleska}
446	\framesubtitle{Exklusiv eller operatorn}
447
448	När det gäller att uttrycka att \BLUE{antingen} ett påstående \BLUE{eller}
449	ett annat påstående är \sant\ så används \GREEN{exklusiv eller} operatorn.
450
451	\pause
452	\bigskip
453	Låt ta exemplet
454	\begin{block}{}
455	\BLUE{''\GREEN{Antingen} så hoppar Nora \GREEN{eller} Pelle hage''}
456	\end{block}
457
458	\pause
459	Detta uttryck består av två påståenden som utesluter varandra
460	\begin{columns}
461	\begin{column}{.47\textwidth}
462	\begin{block}{Påstående 1}
463	Nora hoppar hage
464	\end{block}
465	\end{column}
466	\begin{column}{.47\textwidth}
467	\begin{block}{Påstående 2}
468	Pelle hoppar hage
469	\end{block}
470	\end{column}
471	\end{columns}
472
473	Påståendet är \sant\ omm \BLUE{antingen} Nora \BLUE{eller} Pelle hoppar
474	hage, \falskt\ i alla övriga fall.
475	\end{frame}
476
477	\begin{frame}
478	\frametitle{Det booleska}
479	\framesubtitle{Exklusiv eller operatorn}
480
481	Låt såga att vi har uttrycket \BLUE{''\GREEN{antingen} \(p\) \GREEN{eller} \(q\)''}
482	så kan det skrivas som
483	\[
484	\BLUE{p} \GREEN{\oplus} \BLUE{q}
485	\]
486
487	\pause
488	och har sanningstabellen
489
490	\begin{block}{sanningstabell för \(\oplus\)}
491	\begin{center}
492	\begin{tabular}{\|c\|c\|c\|}
493	\hline
494	\(p\) & \(q\) & \( p \oplus q \) \\
495	\hline
496	\(F\) & \(F\) & \(F\) \\
497	\hline
498	\(S\) & \(F\) & \(S\) \\
499	\hline
500	\(F\) & \(S\) & \(S\) \\
501	\hline
502	\(S\) & \(S\) & \(F\) \\
503	\hline
504	\end{tabular}
505
506	Där \(F\) betyder \falskt\ och \(S\) betyder \sant
507	\end{center}
508	\end{block}
509
510	\pause
511	\GREEN{Exklusiv eller} kallas också för \GREEN{exklusiv disjunktion}.
512
513	\end{frame}
514
515	\begin{frame}
516	\frametitle{Det booleska}
517	\framesubtitle{Exklusiv eller operatorn}
518
519	\begin{block}{\(p \oplus q \equiv (p \vee q) \wedge \neg (p \wedge q) \)}
520	\begin{center}
521	\begin{tabular}{\|c c\|\|c\|c\|\|c\|\|c\|}
522	\hline
523	\(p\) & \(q\) & \((p \vee q)\) & \((p \wedge q)\) & \(\neg (p \wedge q)\) & \((p \vee q) \wedge \neg (p \wedge q) \) \\
524	\hline
525	\(F\) & \(F\) & \(F\) & \(F\) & \(S\) & \(F\) \\
526	\hline
527	\(S\) & \(F\) & \(S\) & \(F\) & \(S\) & \(S\) \\
528	\hline
529	\(F\) & \(S\) & \(S\) & \(F\) & \(S\) & \(S\) \\
530	\hline
531	\(S\) & \(S\) & \(S\) & \(S\) & \(F\) & \(F\) \\
532	\hline
533	\end{tabular}
534	\end{center}
535	\end{block}
536
537	\end{frame}
538
539	\subsection{Implikation}
540
541	\begin{frame}
542	\frametitle{Det booleska}
543	\framesubtitle{Implikation - om \(p\) så \(q\)}
544
545	Låt säga att vi har uttrycket
546	\begin{block}{}
547	\BLUE{\GREEN{Om} Nora vinner mer än två tusen Euro \GREEN{så}
548	skall Nora bjuda Pelle på middag}
549	\end{block}
550
551	\pause
552	Detta uttryck består av två delar
553	\begin{columns}
554	\begin{column}{.47\textwidth}
555	\begin{block}{hypotes}
556	Nora vinner mer än två tusen Euro
557	\end{block}
558	\end{column}
559	\begin{column}{.47\textwidth}
560	\begin{block}{slutsats}
561	Nora bjuder Pelle på middag\\
562	\ \
563	\end{block}
564	\end{column}
565	\end{columns}
566
567	\pause
568	Uttrycket är \falskt\ omm \BLUE{hypotesen} är \GREEN{sann} och
569	\BLUE{slutsatsen} är \falskt.\pause\ Uttrycket är \sant\ i alla övriga
570	fall.
571
572	\end{frame}
573
574	\begin{frame}
575	\frametitle{Det booleska}
576	\framesubtitle{Implikation - om \(p\) så \(q\)}
577
578	\begin{block}{Sanningstabell över \(\rightarrow\)}
579	\begin{center}
580	\begin{tabular}{\|c c\|\|c\|}
581	\hline
582	$p$ & $q$ & $p \rightarrow q$ \\
583	\hline
584	$F$ & $F$ & $S$ \\
585	\hline
586	$S$ & $F$ & $F$ \\
587	\hline
588	$F$ & $S$ & $S$ \\
589	\hline
590	$S$ & $S$ & $S$ \\
591	\hline
592	\end{tabular}
593	\end{center}
594	\end{block}
595
596	\pause
597	Denna operator kan ses som lögndetektorn.
598
599	\bigskip
600	\pause
601	Notera att
602	\begin{block}{}
603	\( p \rightarrow q \equiv \neg p \vee q \)
604	\end{block}
605
606	\end{frame}
607
608	\subsection{Omm operatorn}
609
610	\begin{frame}
611	\frametitle{Det Booleska}
612	\framesubtitle{Omm operatorn}
613
614	Låt säga att vi har uttryck
615	\begin{block}{}
616	\BLUE{Pelle hoppar hage \GREEN{om och endast om} Nora tittar på}
617	\end{block}
618
619	\pause
620	Detta uttryck har två delar
621
622	\begin{columns}
623	\begin{column}{.47\textwidth}
624	\begin{block}{}
625	\BLUE{\textbf{Pelle hoppar hage}} \only<3->{när Nora tittar på}
626	\end{block}
627	\end{column}
628	\begin{column}{.47\textwidth}
629	\begin{block}{}
630	\BLUE{\textbf{Nora tittar på}} \only<3->{när Pelle hoppar hage}
631	\end{block}
632	\end{column}
633	\end{columns}
634
635	\only<4->{
31 by Gustav Hatvigsson * Lade till lite om "biconditional"	636	Uttrycket är \sant\ om båda påståendena är \texttt{\RED{falska}}
28 by Gustav Hatvigsson * lade till en presentation om det booleksa	637	eller om båda påståendena är \texttt{\GREEN{sanna}}, och \falskt\ i alla övriga fall.
	638	}
	639
31 by Gustav Hatvigsson * Lade till lite om "biconditional"	640	\only<5->{
	641	För att förstå detta lite bättre kan vi ta och titta på vad \GREEN{omm}
	642	kallas på engelska:} \only<6->{\GREEN{logical biconditional}.}
	643
28 by Gustav Hatvigsson * lade till en presentation om det booleksa	644	\end{frame}
	645
	646	\begin{frame}
	647	\frametitle{Det Booleska}
	648	\framesubtitle{Omm operatorn}
	649
	650	\begin{block}{}
	651	\begin{center}
	652	\begin{tabular}{\|c c\|\|c\|}
	653	\hline
	654	$p$ & $q$ & $ p \leftrightarrow q $ \\
	655	\hline
	656	$F$ & $F$ & $S$ \\
	657	\hline
	658	$S$ & $F$ & $F$ \\
	659	\hline
	660	$F$ & $S$ & $F$ \\
	661	\hline
	662	$S$ & $S$ & $S$ \\
	663	\hline
	664	\end{tabular}
	665	\end{center}
	666	\end{block}
	667
	668	\pause
	669	Denna operatorn kallas förvirrande nog för \BLUE{materiell-} eller \BLUE{logisk ekvivalens}.
	670
	671	\pause
	672	Det vill säga \(p \leftrightarrow q\) och \(p \equiv q\) har samma betydelse, \pause
	673	dock vill jag skilja på dessa: \GREEN{använd \(\equiv\) när ni säger att uttryck är ekvivalenta} och
	674	\BLUE{\(\leftrightarrow\) när ni säger att påståenden är ekvivalenta}.
	675
	676	\pause
	677	\begin{block}{}
	678	\(p \leftrightarrow q \equiv (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p) \)
	679	\end{block}
	680	\end{frame}
	681
	682	\subsection{Tautologier och Kontradiktioner}
	683
	684	\begin{frame}
	685	\frametitle{Det Booleska}
	686	\framesubtitle{Tautologier och Kontradiktioner}
	687	Ibland finns det \BLUE{uttryck} som har ett \sant\ sanningsvärde oberoende
	688	på vad \BLUE{påståendena} har för sanningsvärde,\pause\ dessa kallas för \GREEN{tautologier}.
	689
	690	\bigskip
	691	\pause
	692	Motsatsen till \GREEN{tautologier} är \RED{kontradiktioner},\pause\ det vill
	693	säga \BLUE{uttryck} som har ett \falskt\ sanningsvärde oberoende på vad
	694	\BLUE{påståendena} har för sanningsvärden.
	695
	696	\bigskip
	697	\pause
	698	\begin{columns}
	699	\begin{column}{.47\textwidth}
	700	\begin{block}{exempel på tautologier}
	701	\[A \vee \neg A\]
	702	\[ \neg (p \wedge q) \leftrightarrow (\neg p \vee \neg q) \]
	703	\end{block}
	704	\end{column}
	705	\begin{column}{.47\textwidth}
	706	\begin{block}{exempel på kontradiktion}
	707	\[A \wedge \neg A\]
708	\end{block}
709	\end{column}
710	\end{columns}
711
712	\end{frame}
713
714	\section{Slut}
715	\begin{frame}
716	\Huge \center{Slut!}
717	\normalsize
718	\begin{block}{Tack för er uppmärksamhet}
719	Vi kommer gå genom lite \GREEN{på tavlan} nu om
720	\BLUE{kvantifikatorer} och hur det går att konstruera
721	\RED{sanningstabeller}.
722	\end{block}
723	\end{frame}
724
725	\end{document}