\documentclass[aspectratio=1610, mathserif]{beamer}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}

\usepackage{color}

\definecolor{pblue}{rgb}{0.13,0.13,1}
\definecolor{pgreen}{rgb}{0,0.5,0}
\definecolor{pred}{rgb}{0.9,0,0}
\definecolor{pgrey}{rgb}{0.46,0.45,0.48}

\usepackage{listings}
\lstset{language=Java,
  showspaces=false,
  showtabs=false,
  breaklines=true,
  showstringspaces=false,
  extendedchars=true,              % lets you use non-ASCII characters; for 8-bits encodings only, does not work with UTF-8
  breakatwhitespace=true,
  commentstyle=\color{pgreen},
  keywordstyle=\color{pblue},
  stringstyle=\color{pred},
  basicstyle=\ttfamily,
  moredelim=[il][\textcolor{pgrey}]{$ $},
  moredelim=[is][\textcolor{pgrey}]{\%\%}{\%\%}
}

\lstset{literate={ö}{{\"o}}1
	{ä}{{\"a}}1
	{å}{{\aa}}1
	{Ö}{{\"O}}1
	{Ä}{{\"A}}1
	{Å}{{\AA}}1
}


\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{algorithm}
\usepackage{algpseudocode}
\usepackage{algorithmicx}
\usepackage{xcolor}

\usetheme{Berkeley}

\newcommand{\BLUE}[1]{\textcolor{blue!50!black}{#1}}
\newcommand{\RED}[1]{\textcolor{red!50!black}{#1}}
\newcommand{\GREEN}[1]{\textcolor{green!50!black}{#1}}
\newcommand{\YELLOW}[1]{\textcolor{yellow!75!black}{#1}}

\newcommand{\sant}{\GREEN{\texttt{sant}}}
\newcommand{\falskt}{\RED{\texttt{falskt}}}
\newcommand{\inte}{\RED{inte}}

\usepackage{dejavu}
\usefonttheme{professionalfonts}

\usepackage{ragged2e}
\justifying
\addtobeamertemplate{block begin}{}{\justifying}  %new code

\include{swealgo}

\author{Guastav Hartvigsson}
\institute{Strömstad Gymnasium}
\title{Varför logik?}
\subtitle{Det som får världen att gå runt}

\begin{document}

\begin{frame}
\maketitle
\end{frame}

\begin{frame}

  \tableofcontents

\end{frame}

\section{Introduktion}


\begin{frame}

  \tableofcontents[currentsection, subsectionstyle=show/show/hide]

\end{frame}

\subsection{Vad är Logik?}

\begin{frame}
  \frametitle{Introduktion}
  \framesubtitle{Varför Logik?}
  
  \begin{columns}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{Vad är logik?}
        \textit{\BLUE{Logik} är en av våra äldsta vetenskaper. Människan har
                sedan ''urminnes tider'' haft förmågan att omedvetet
                dra \GREEN{korrekta slutsatser} från givna påståenden, 
                \RED{abstrahera gemensam information} från flera idéer etc.}
    
                (Wikipedia, \textit{Logik}, 2016-03-05)
      \end{block}
    \end{column}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{Vad är Mattematisk logik?}
          \textit{\BLUE{Matematisk logik} har generellt två betydelser.
                  \GREEN{Det kan betyda logik studerad med matematiska
                  metoder} eller \RED{matematikens logik}. Ofta avser
                  man båda dessa tolkningar: man studerar
                  \BLUE{matematikens logik med matematiska metoder}.}
                  
                  (Wikipedia, \textit{Matematisk logik}, 2016-03-05)
      \end{block}
    \end{column}
  \end{columns}

\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Introduktion}
  \framesubtitle{Varför Logik?}
  \RED{Vi kommer inte att fördjupa oss i detta allt för
  mycket, dock så skall ni få en viss förståelse för
  varför det är bra att känna till logik. }
  
\end{frame}

\subsection{Påståenden}
\begin{frame}
  \frametitle{Introduktion}
  \framesubtitle{Påståenden}
  
  Den logik som vi kommer att gå genom handlar om olika \textbf{påståenden}
  och logiska satser.
  
  \pause\begin{block}{Exempel på ett påstående}
    Pelle hoppar hage
  \end{block}
  
  \pause Detta påståendet har ett \textbf{sanningsvärde}, det vill säga
  påståendet är \sant\ eller \falskt.\pause\ Om Pelle \inte\ hoppar hage så är
  påståendet \falskt, medans om Pelle hoppar hage så är påståendet \sant.

\end{frame}

\subsection{Påståenden som Variabler}

\begin{frame}
  \frametitle{Introduktion}
  \framesubtitle{Påståenden som Variabler}
  
  När det gäller logik så handlar allt om att kunna \BLUE{resonera}
  om olika uttryck, då kan det vara bra att kunna \GREEN{''korta ner''}
  uttrycken så att de inte är allt för långa.
  \pause \GREEN{Då används variabler.}

\end{frame}
\begin{frame}
  \frametitle{Introduktion}
  \framesubtitle{Påståenden som Variabler}
  
  Låt säga att vi har uttrycket
  \begin{block}{Uttryck}
    Pelle och Nora åker pulka.
  \end{block}
  
  \pause
  Detta uttryck kan delas uttryck kan delas upp i två delar:
  
  
  \begin{columns}
     \begin{column}{.47\textwidth}
        \pause\begin{block}{Påstående 1}
          \BLUE{Pelle åker pulka}
        \end{block}
     \end{column}
     \begin{column}{.47\textwidth}
        \pause\begin{block}{Påstående 2}
          \RED{Nora åker pulka}.
        \end{block}
     \end{column}
  \end{columns} 
  
  \pause Låt oss tilldela \BLUE{påstående 1} bokstaven \BLUE{\(p\)}
  och \RED{påstående 2} bokstaven \RED{\(q\)}.
  
  \bigskip
  \pause Då går det att skriva:
  \[\BLUE{p} \wedge \RED{q}\]
  
  (Vi återkommer till detta)
\end{frame}

\section{Det Booleska}
\subsection{Vad är Boolesk Algebra?}

\begin{frame}
  \tableofcontents[currentsection, subsectionstyle=show/show/hide]
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Det Boolska}
  \framesubtitle{Vad är Boolesk Algebra?}
  
  \begin{block}{Vad är Boolsk Algebra?}
    \textit{\BLUE{Boolesk algebra} är ursprungligen en 
    överföring av \GREEN{satslogiken} till \RED{kalkyl},
    som introducerades av \BLUE{George Boole} år 1854. }
    
    (Wikipedia, \textit{Boolesk Algebra}, 2016-03-05)
  \end{block}
  
  \pause
  \begin{block}{Vad är Satslogik?}
    \textit{Satslogiken är ett \RED{formellt logiskt system med
    väldefinierad syntax}, avsett att \BLUE{symboliskt
    hantera språkliga satser,} vilka uttrycker \GREEN{påståenden},
    och från dessa med giltiga slutledningar, \GREEN{dra slutsatser.}}
    
    (Wikipedia, \textit{Satslogik}, 2016-03-05)
  \end{block}
  
\end{frame}

\subsection{Och operatorn}

\begin{frame}
  \frametitle{Det Booleska}
  \framesubtitle{Och operatorn}
  
  Om vi tar exemplet \BLUE{''Pelle \GREEN{och} Nora åker pulka''} så
  konstaterade vi att detta uttrycket bestod av \RED{två delar}.
  
  \pause
  \begin{columns}
     \begin{column}{.47\textwidth}
        \begin{block}{Påstående 1}
          Pelle åker pulka
        \end{block}
     \end{column}
     \begin{column}{.47\textwidth}
        \begin{block}{Påstående 2}
          Nora åker pulka.
        \end{block}
     \end{column}
  \end{columns}
   
  \pause
  Samt att vi tilldelade dessa namnen \BLUE{\(p\)} och \BLUE{\(q\)}.
  
  \pause
  Då fick vi
  \BLUE{
  \[p \GREEN{\wedge} q\]
  }
  
  \pause
  Detta uttryck är \sant\ omm (om och endast om) \GREEN{båda} påståendena \BLUE{håller},\pause\
  det vill säga att båda påståendena har ett \sant\ sanningsvärdet.\pause\ Uttrycket är \falskt\
  i alla övriga fall.
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Det Booleska}
  \framesubtitle{Och operatorn - Sanningstabell }
  
  När vi skall \BLUE{resonera} om ett logiskt uttryck så
  är det bra att ställa upp något som kallas en
  \BLUE{sanningstabell}.
  
  \pause
  \begin{block}{sanningstabell för \(\wedge\)}
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|c|c|c|}
         \hline
         \(p\) & \(q\) & \( p \wedge q \) \\
         \hline
         \(F\) & \(F\) & \only<3->{\(F\)} \\
         \hline
         \(S\) & \(F\) & \only<4->{\(F\)} \\
         \hline
         \(F\) & \(S\) & \only<5->{\(F\)} \\
         \hline
         \(S\) & \(S\) & \only<6->{\(S\)} \\
         \hline
      \end{tabular}
      
      Där \(F\) betyder \falskt\ och \(S\) betyder \sant
    \end{center}
 \end{block}
 
 \pause
 \only<7->{
 \GREEN{Och operatorn} kallas också för \GREEN{konjunktion}.
 }
\end{frame}

\subsection{Eller operatorn}
\begin{frame}
  \frametitle{Boolesk Algebra}
  \framesubtitle{Eller operatorn}
  
  Låt säga att vi har uttrycket
  \begin{block}{}
    Nora eller Pelle myser framför tv:n
  \end{block}
  
  \pause
  Detta uttrycket kan delas upp i två påståenden:
  \begin{columns}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{Påstående 1}
        Nora myser framför tv:n
      \end{block}
    \end{column}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{Påstående 2}
        Pelle myser framför tv:n
      \end{block}
    \end{column}
  \end{columns}
  
  \pause \RED{I vardagsspråk} skulle detta innebära att \BLUE{antingen}
  Pelle eller Nora myser framför tv:n, dock är det \inte\ så
  inom \BLUE{logiken}.
  
  \pause
  \bigskip
  \BLUE{Inom logiken} är uttrycket \sant\ om Nora myser
  framför tv:n men inte Pelle,\pause\ och \GREEN{tvärtom},\pause\
  samt när \GREEN{både} Pelle och Nora myser framför tv:n.
  \pause Uttrycket är \falskt\ omm \BLUE{varken} Pelle eller
  Nora myser framför tv:n.
  
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Boolesk Algebra}
  \framesubtitle{Eller operatorn}
  Om vi har ett uttryck \BLUE{''\(p\) \GREEN{eller} \(q\)''} där
  \(p\) och \(q\) är två påståenden så, skrivs detta med i
  boolesk algebra som
  
  \[p \vee q\]
  
  \pause
  
  \begin{block}{sanningstabell för \(\vee\)}
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|c|c|c|}
         \hline
         \(p\) & \(q\) & \( p \vee q \) \\
         \hline
         \(F\) & \(F\) & \only<3->{\(F\)} \\
         \hline
         \(S\) & \(F\) & \only<4->{\(S\)} \\
         \hline
         \(F\) & \(S\) & \only<5->{\(S\)} \\
         \hline
         \(S\) & \(S\) & \only<6->{\(S\)} \\
         \hline
      \end{tabular}
      
      Där \(F\) betyder \falskt\ och \(S\) betyder \sant
    \end{center}
 \end{block}
 
 \only<7->{
 \GREEN{Eller operatorn} kallas också för \GREEN{disjunktion} eller
 \GREEN{inklusiv disjunktion}.
 }
\end{frame}

\subsection{Negerings operatorn}



\begin{frame}[fragile]
  \frametitle{Boolesk Algebra}
  \framesubtitle{Negerings operatorn}
  
  Ibland kan det vara nödvändigt att uttrycka \BLUE{motsatsen} till något\linebreak
  påstående, \pause\ detta görs med \BLUE{negering}. 
  \bigskip
  
  \pause
  Låt ta uttrycket \BLUE{''Pelle har \inte\ en USB-hålkortsläsare''}.
  \pause\ Detta uttryck är \RED{negeringen} av påståendet
  \BLUE{''Pelle har en USB-hålkortsläsare''}.
  
  \pause
  Då skulle det gå att uttrycka detta med det booleska uttrycket
  \[
    \neg p
  \]
  där \(p\) är påståendet \BLUE{''Pelle har en USB-hålkortsläsare''}.
  
  \pause
  \bigskip
  Alltså, uttrycket är \sant\ omm Pelle \inte\ har en USB-hålkortsläsare,
  och \falskt\ omm Pelle har en USB-hålkortsläsare.
  
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Boolesk Algebra}
  \framesubtitle{Negerings operatorn}
  
  \RED{Inte} \(p\), eller \(\neg p\), har sanningstabellen.
  \begin{block}{Sanningstabellen för \(\neg p\)}
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|c|c|}
        \hline
        \(p\) & \(\neg p\)  \\
        \hline
        \(F\) & \(S\) \\
        \hline
        \(S\) & \(F\) \\
        \hline
      \end{tabular}
    \end{center}
  \end{block}
  
\end{frame}

\subsection{Halvvägs!}
\begin{frame}
  \frametitle{Boolesk Algebra}
  \framesubtitle{Halvvägs!}
  Nu har vi tagit de grundläggande booleska operatorerna,
  och det blir bara mer komplicerat efter detta.
  
  \tableofcontents[currentsection, currentsubsection, subsectionstyle=show/shaded/hide]
  
  
\end{frame}

\subsection{Exklusiv eller operatorn}
\begin{frame}
  \frametitle{Det booleska}
  \framesubtitle{Exklusiv eller operatorn}
  
  När det gäller att uttrycka att \BLUE{antingen} ett påstående \BLUE{eller}
  ett annat påstående är \sant\ så används \GREEN{exklusiv eller} operatorn.
  
  \pause
  \bigskip
  Låt ta exemplet 
  \begin{block}{}
    \BLUE{''\GREEN{Antingen} så hoppar Nora \GREEN{eller} Pelle hage''}
  \end{block}
  
  \pause
  Detta uttryck består av två påståenden som utesluter varandra
  \begin{columns}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{Påstående 1}
        Nora hoppar hage
      \end{block}
    \end{column}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{Påstående 2}
        Pelle hoppar hage
      \end{block}
    \end{column}
  \end{columns}
  
  Påståendet är \sant\ omm \BLUE{antingen} Nora \BLUE{eller} Pelle hoppar
  hage, \falskt\ i alla övriga fall.
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Det booleska}
  \framesubtitle{Exklusiv eller operatorn}
  
  Låt såga att vi har uttrycket \BLUE{''\GREEN{antingen} \(p\) \GREEN{eller} \(q\)''}
  så kan det skrivas som
  \[
  \BLUE{p} \GREEN{\oplus} \BLUE{q}
  \]
  
  \pause
  och har sanningstabellen
  
    \begin{block}{sanningstabell för \(\oplus\)}
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|c|c|c|}
         \hline
         \(p\) & \(q\) & \( p \oplus q \) \\
         \hline
         \(F\) & \(F\) & \(F\) \\
         \hline
         \(S\) & \(F\) & \(S\) \\
         \hline
         \(F\) & \(S\) & \(S\) \\
         \hline
         \(S\) & \(S\) & \(F\) \\
         \hline
      \end{tabular}
      
      Där \(F\) betyder \falskt\ och \(S\) betyder \sant
    \end{center}
 \end{block}
 
 \pause
 \GREEN{Exklusiv eller} kallas också för \GREEN{exklusiv disjunktion}.
  
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Det booleska}
  \framesubtitle{Exklusiv eller operatorn}
  
  \begin{block}{\(p \oplus q \equiv (p \vee q) \wedge \neg (p \wedge q) \)}
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|c c||c|c||c||c|}
        \hline
        \(p\) & \(q\) & \((p \vee q)\) & \((p \wedge q)\) & \(\neg (p \wedge q)\) & \((p \vee q) \wedge \neg (p \wedge q) \) \\
        \hline
        \(F\) & \(F\) &       \(F\)    &       \(F\)      &         \(S\)         & \(F\) \\
        \hline
        \(S\) & \(F\) &       \(S\)    &       \(F\)      &         \(S\)         & \(S\) \\
        \hline
        \(F\) & \(S\) &       \(S\)    &       \(F\)      &         \(S\)         & \(S\) \\
        \hline
        \(S\) & \(S\) &       \(S\)    &       \(S\)      &         \(F\)         & \(F\) \\
        \hline
      \end{tabular}
    \end{center}
  \end{block}
  
\end{frame}

\subsection{Implikation}

\begin{frame}
  \frametitle{Det booleska}
  \framesubtitle{Implikation - om \(p\) så \(q\)}
  
  Låt säga att vi har uttrycket 
  \begin{block}{}
    \BLUE{\GREEN{Om} Nora vinner mer än två tusen Euro \GREEN{så}
          skall Nora bjuda Pelle på middag}
  \end{block}
  
  \pause
  Detta uttryck består av två delar
  \begin{columns}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{hypotes}
        Nora vinner mer än två tusen Euro
      \end{block}
    \end{column}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{slutsats}
        Nora bjuder Pelle på middag\\
        \ \
      \end{block}
    \end{column}
  \end{columns}
  
  \pause
  Uttrycket är \falskt\ omm \BLUE{hypotesen} är \GREEN{sann} och
  \BLUE{slutsatsen} är \falskt.\pause\ Uttrycket är \sant\ i alla övriga
  fall.
  
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Det booleska}
  \framesubtitle{Implikation - om \(p\) så \(q\)}
  
  \begin{block}{Sanningstabell över \(\rightarrow\)}
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|c c||c|}
        \hline
         $p$ & $q$ & $p \rightarrow q$ \\
        \hline
         $F$ & $F$ & $S$ \\
        \hline
         $S$ & $F$ & $F$ \\
        \hline
         $F$ & $S$ & $S$ \\
        \hline
         $S$ & $S$ & $S$ \\
        \hline
      \end{tabular}
    \end{center}
  \end{block}
  
  \pause
  Denna operator kan ses som lögndetektorn.
  
  \bigskip
  \pause
  Notera att
  \begin{block}{}
    \( p \rightarrow q \equiv \neg p \vee q \)
  \end{block}
  
\end{frame}

\subsection{Omm operatorn}

\begin{frame}
  \frametitle{Det Booleska}
  \framesubtitle{Omm operatorn}
  
  Låt säga att vi har uttryck 
  \begin{block}{}
    \BLUE{Pelle hoppar hage \GREEN{om och endast om} Nora tittar på} 
  \end{block}
  
  \pause
  Detta uttryck har två delar
  
  \begin{columns}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{}
        \BLUE{\textbf{Pelle hoppar hage}} \only<3->{när Nora tittar på}
      \end{block}
    \end{column}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{}
        \BLUE{\textbf{Nora tittar på}} \only<3->{när Pelle hoppar hage}
      \end{block}
    \end{column}
  \end{columns}
  
  \only<4->{
  Uttrycket är \sant\ om båda påståendena är \texttt{\RED{falska}}
  eller om båda påståendena är \texttt{\GREEN{sanna}}, och \falskt\ i alla övriga fall.
  }
  
  \only<5->{
  För att förstå detta lite bättre kan vi ta och titta på vad \GREEN{omm}
  kallas på engelska:} \only<6->{\GREEN{logical biconditional}.}
  
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Det Booleska}
  \framesubtitle{Omm operatorn}
  
    \begin{block}{}
      \begin{center}
        \begin{tabular}{|c c||c|}
          \hline
           $p$ & $q$ & $ p \leftrightarrow q $ \\
          \hline
           $F$ & $F$ & $S$ \\
          \hline
           $S$ & $F$ & $F$ \\
          \hline
           $F$ & $S$ & $F$ \\
          \hline
           $S$ & $S$ & $S$ \\
          \hline
        \end{tabular}
      \end{center}
    \end{block}
    
    \pause
    Denna operatorn kallas förvirrande nog för \BLUE{materiell-} eller \BLUE{logisk ekvivalens}.
    
    \pause
    Det vill säga \(p \leftrightarrow q\) och \(p \equiv q\) har samma betydelse, \pause
    dock vill jag skilja på dessa: \GREEN{använd \(\equiv\) när ni säger att uttryck är ekvivalenta} och
    \BLUE{\(\leftrightarrow\) när ni säger att påståenden är ekvivalenta}. 
    
    \pause
    \begin{block}{}
      \(p \leftrightarrow q \equiv (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p) \)
    \end{block}
\end{frame}

\subsection{Tautologier och Kontradiktioner}

\begin{frame}
  \frametitle{Det Booleska}
  \framesubtitle{Tautologier och Kontradiktioner}
  Ibland finns det \BLUE{uttryck} som har ett \sant\ sanningsvärde oberoende
  på vad \BLUE{påståendena} har för sanningsvärde,\pause\ dessa kallas för \GREEN{tautologier}.
  
  \bigskip
  \pause
  Motsatsen till \GREEN{tautologier} är \RED{kontradiktioner},\pause\ det vill
  säga \BLUE{uttryck} som har ett \falskt\ sanningsvärde oberoende på vad
  \BLUE{påståendena} har för sanningsvärden.
  
  \bigskip
  \pause
  \begin{columns}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{exempel på tautologier}
        \[A \vee \neg A\]
        \[ \neg (p \wedge q) \leftrightarrow (\neg p \vee \neg q) \]
      \end{block}
    \end{column}
    \begin{column}{.47\textwidth}
      \begin{block}{exempel på kontradiktion}
        \[A \wedge \neg A\]
      \end{block}
    \end{column}
  \end{columns}
  
\end{frame}

\section{Slut}
\begin{frame}
  \Huge \center{Slut!}
  \normalsize 
  \begin{block}{Tack för er uppmärksamhet}
    Vi kommer gå genom lite \GREEN{på tavlan} nu om
    \BLUE{kvantifikatorer} och hur det går att konstruera
    \RED{sanningstabeller}.
  \end{block}
\end{frame}

\end{document}
